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很多人不知道一次函数应用题一直是中考数学热点,该怎么解决

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一次函数作为初中数学三大函数之一,在中考数学中占据重要的位置,题型有选择题、填空题、解答题。相关的问题会考查一次函数的概念、图象与性质等,如分类讨论、一次函数综合问题、一次函数与几何综合问题等。

其中,与一次函数相关的应用题一直是中考数学热点,在全国很多地方的中考数学试卷作为必考考点。一次函数应用题,可以结合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容,去解决生产生活中大量实际问题,体现数学来源于生活,数学服务于生活的思想和应用价值。

同时,运用一次函数去解决实际问题,能有效的把“数”与“形”两方面进行结合,实现数形结合思想。

很多人应对中考函数复习,把很多精力都花在二次函数上面,忽视了一次函数的学习和积累,这是一件非常危险的事情。

因此,今天我们就一起来讲讲一次函数应用题的解题策略。

什么是一次函数?

一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数。

特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,y=kx(k为常数,k≠0)。这时,y叫做x的正比例函数。

所有一次函数的图像都是一条直线。

中考数学,一次函数应用题,典型例题1:

在某市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的1/3.

(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?

(2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?

解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,

根据题意得(30+15)/150+15/x=1/3,

解得:x=450,

经检验x=450是方程的根,

答:乙队单独完成这项工程需要450天;

(2)根据题意得(1/a+m/a)×40=2/3,

∴a=60m+60,

∵60>0,

∴a随m的增大增大,

∴当m=1时,1/a最大,

∴1/a=1/60,

∴1/60÷1/450=7.5倍,

答:乙队的最大工作效率是原来的7.5倍

考点分析:

一次函数的应用;分式方程的应用.

题干分析:

(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,根据题意得方程即可得到结论;

(2)根据题意得(1/a+m/a)×40=2/3,即可得到a=60m+60,根据一次函数的性质得到1/a=1/6,即可得到结论.

解题反思:

此题考查了一次函数的实际应用.分式方程的应用,解题的关键是理解题意,能根据题意求得函数解析式,注意数形结合与方程思想的应用。

一次函数应用题不仅包含了数形结合思想,还蕴含分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法,大家一定要认真对待。

纵观近几年中考数学一次函数应用题,我们可以发现考查一般集中在一下子四个方面:

1、考查学生对数形结合的认识和理解;

2、考查学生将实际问题转化为一次函数的能力,即数学建模能力;

3、考查学生对分类讨论、极端值、对应关系、有序性等数学思想方法掌握程度;

4、考查学生对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

中考数学,一次函数应用题,典型例题2:

为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种苗的单价为7元/棵,购买B种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.

(1)求y与x的函数关系式;

(2)若在购买计划中,B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.


设总费用为W元,则W=6.4x+32+7(45﹣x)=﹣0.6x+347,

∵k=﹣0.6,

∴y随x的增大而减小,

∴当x=35时,W总费用最低,W最低=﹣0.6×35+347=137(元).

题干分析:

(1)利用得到系数法求解析式,列出方程组解答即可;

(2)根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用,即可解答.

解题反思:

此题主要考查了一次函数的应用,根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键。

中考数学,一次函数应用题,典型例题3:

小明和爸爸从家步行去公园,爸爸先出发一直匀速前行,小明后出发.家到公园的距离为2500m,如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象.  

(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式;  

(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇?  

(3)在速度都不变的情况下,小明希望比爸爸早20min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整?  


则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为:s=30t+250,  

当50t﹣500=30t+250,即t=37.5min时,小明与爸爸第三次相遇;  

(3)30t+250=2500,  

解得,t=75,  

则小明的爸爸到达公园需要75min,  

∵小明到达公园需要的时间是60min,  

∴小明希望比爸爸早20min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间需减少5min.  

题干分析:

(1)根据函数图形得到0≤t≤20、20<t≤30、30<t≤60时,小明所走路程s与时间t的函数关系式;  

(2)利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式,列出二元一次方程组解答即可;  

(3)分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间,计算即可。

解题反思:

本题考查的是一次函数的应用,掌握待定系数法求一次函数解析式、读懂函数图象是解题的关键。

在中考数学中,一次函数应用题题型多种多样,如有方案设计问题(物资调运、方案比较)、分段函数问题(分段价格、几何动点)、由形求式(单个函数图象、多个函数图象)、一次函数多种变量及其最值问题等等。

无论是哪种形式的中考数学应用题,要想拿到相应的分数,都必须掌握好一次函数基础知识概念、函数图象与性质等内容,提高运用知识解决问题的能力。

大部分一次函数应用题因其语言叙述较多,数据量较大,给同学们的审题、解题带来很多不便,造成的解题失误较多。因此,考生在在解决问题过程中,一定认真审题,理清题意,抓住每一个解题关键,不遗留任何题干信息。

中考数学,一次函数应用题,典型例题4:

某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.

(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少?

(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数关系式;

(3)小明家5月份用水26吨,则他家应交水费多少元?

解:(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元,


(3)∵26>14,

∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元,

答:小英家5月份水费69吨.

考点分析:

一次函数的应用.

题干分析:

(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元,市场调节价为n元,根据题意列出方程组,求解此方程组即可;

(2)根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系,注意自变量的取值范围;

(3)根据小英家5月份用水26吨,判断其在哪个范围内,代入相应的函数关系式求值即可。

解题反思:

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法,特别是在求一次函数的解析式时,此函数是一个分段函数,同时应注意自变量的取值范围。

解决与一次函数应用题相关的问题,我们可以采用这样方法:将文字语言转化成代数式,然后找出函数关系、列出一次函数解析式,从而解决问题的方法;

或是将题目中的各个量列成一个表格,从而理顺它们之间的数量关系,以便于从中找到函数关系的解题方法。

中考数学,一次函数应用题,典型例题5:

梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发,其中A品牌的批发价是每包20元,B品牌的批发价是每包25元,小王需购买A、B两种品牌的龟苓膏共1000包.

(1)若小王按需购买A、B两种品牌龟苓膏粉共用22000元,则各购买多少包?

(2)凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠,会员卡费用为500元.若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000包龟苓膏粉,共用了y元,设A品牌买了x包,请求出y与x之间的函数关系式.

(3)在(2)中,小王共用了20000元,他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉,每包龟苓膏粉小王需支付邮费8元,若每包销售价格A品牌比B品牌少5元,请你帮他计算,A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本(运算结果取整数)?

解:(1)设小王需购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为x包、y包,


(3)由(2),可得

20000=﹣4x+20500

解得x=125,

∴小王购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为125包、875包,

设A种品牌龟苓膏粉的售价为z元,

则B种品牌龟苓膏粉的售价为z+5元,

∴125z+875(z+5)≥20000+8×1000

解得z≥23.625,

∴A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于24元时才不亏本.

考点分析:

一次函数的应用.所有

题干分析:

(1)设小王需购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为x包、y包,则得到方程组,据此求出小王购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为多少包即可.

(2)根据题意,可得y=500+0.8×[20x+25(1000﹣x)],据此求出y与x之间的函数关系式即可.

(3)首先求出小王购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为多少包,然后设A种品牌龟苓膏粉的售价为z元,则B种品牌龟苓膏粉的售价为z+5元,所以125z+875(z+5)≥20000+8×1000,据此求出A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本即可.

解题反思:

此题主要考查了一次函数的应用,要熟练掌握,解答此类问题的关键是:(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用.(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

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